Limite d'une somme de fonctions

Propriété

Soit \(f\)  et  \(g\)  deux fonctions. On s'intéresse à la limite de la fonction `f+g` . 
\(\alpha\)  désigne  \(-\infty\) ,  \(+\infty\)  ou un réel.

FI signifie Forme Indéterminée.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R} & +\infty & \color{red}{+\infty} & -\infty\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)} & \ell_2 \in \mathbb{R} & +\infty & -\infty & +\infty & \color{red}{-\infty} & -\infty\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}(f+g)(x)} & \ell_1+\ell_2 & +\infty & -\infty & +\infty & \color{red}{\textbf{FI}} & -\infty \\ \hline \end{array}\)

Énoncé

Déterminer  les limites suivantes : 
\(\lim\limits_{x \to -\infty}(x^2-2x+7)\)  et \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}\left(x^3+\displaystyle\frac{1}{x}\right)\) .

Solution

• \(\lim\limits_{x \to -\infty}x^2=+\infty\)  et \(\lim\limits_{x \to -\infty}(-2x+7)=+\infty\)  
  donc par somme \(\lim\limits_{x \to -\infty}(x^2-2x+7)=+\infty\) .
  
• \(\) \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\}}x^3=0\)  donc \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}x^3=0\)  et \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}\displaystyle\frac{1}{x}=-\infty\)  
  donc par somme \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}\left(x^3+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=-\infty\) .